[社内統計学勉強会]期待値と正規分布

投稿者: | 2018年7月4日

こんにちは。
GMOアドマーケティングのT.Mです。

前回に引き続き、第2回目の勉強会を実施しました。
今回勉強したことをご紹介します。

期待値

期待値とは、確率変数の値と確率を掛けた合計で、試行した値の平均です。
サイコロの出目によって以下の表の通り賞金がもらえるゲームの場合、

出目 1 2 3 4 5 6
賞金 10円 50円 100円 100円 200円 500円
確率 \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\)

$$10 \times \frac{1}{6} + 50 \times \frac{1}{6} + 100 \times \frac{1}{6} + 100 \times \frac{1}{6} + 200 \times \frac{1}{6} + 500 \times \frac{1}{6} = 160円$$

このゲームの期待値は160円なので、参加費が200円だと参加者は40円損する事になります。

正規分布

得られたデータの母集団分布は、正規分布とみなして良いことが多いです。
正規分布の確率密度関数は、平均をμ、分散を\(σ^2\)とすると下記の通りです。
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}σ}exp\{-\frac{1}{2σ^2}(x-μ)^2\}$$

\(N(μ,σ^2)\)と書きます。
特にμ=0, σ=1のものを\(N(0,1^2)\)を標準正規分布といいます。

また確率変数xが\(N(μ,σ^2)\)に従う時、
\(u=\frac{x-μ}{σ}\)は、\(N(0,1^2)\)に従います。
これは、どんな正規分布でも標準正規分布に直せることを表しています。

標準正規分布をPythonで書いてみます。

まとめ

今回は主に正規分布を中心に勉強してきました。
SciPyを使うことで簡単に標準正規分布のグラフが描けました。
これらをどう仕事に活かしていくか、まだまだ勉強は続きます。

以上です。